آشنايي با مفهوم بعد چهارم

بعد چهارم را نمي‌توان به طور مستقيم درك كرد زيرا ما اساساً موجودات سه بعدي هستيم و ليكن با شروع از بعدهاي كمتر و تعميم آن ها مي‌توان بعد چهارم را تصور نمود.
جهان صفر بعدي يك نقطه است كه اهميت چنداني در موضوع ما ندارد. جهان يك بعدي عبارت از يك خط است كه از حركت نقطه به وجود مي‌آيد (تعداد زيادي نقطه در كنار هم). ما در بحث‌هاي بَعدي به چنين جهاني «خط‌» مي‌گوييم. مثالي از يك جسم يك بعدي، پاره خطي به طول a است. جهان دو بعدي، از كنار هم قرار دادن تعداد زيادي خط در جهت بعد دوم (و نه در امتداد يكديگر) به وجود مي‌آيد. اين جهان را جهان «تخت‌» مي‌ناميم و مثالي از يك جسم دو بعدي، مربعي به مسا حت a2 مي‌باشد. جهان سه بعدي نيز، از كنار هم قرار دادن صفحات بي‌شماري در جهت بعد سوم تشكيل مي‌شود و مكعبي به حجم a3 مثالي از يك جسم سه بعدي است. با تعميم مطالب فوق، جهان چهار بعدي نيز از حركت يك مكعب سه بعدي در جهت بعد چهارم بوجود مي‌آيد و مثالي از يك جسم چهار بعدي، اَبَر مكعبي به اَبَر حجم a4 است. بحث بر روي كره‌هاي چند بعدي نيز تا حدودي جالب است. كره يك بعدي، مكان هندسي كليه نقاط در يك خط است كه فاصله‌شان از يك نقطه (مركز كره)، به يك فاصله باشد. اين كره كه چيزي بجز دو نقطه نيست، داراي معادله R2 = x2 مي‌باشد و حجم چنين كره‌اي در واقع طول 2R است.

فضای دو بعدی

كره دو بعدي، مكان هندسي كليه نقاط در يك صفحه است كه فاصله‌شان از يك نقطه (مركز كره)، به يك فاصله باشد. اين كره با معادله R2 = y2 + x2 مشخص مي‌شود كه در واقع دايره‌اي است به شعاعR و حجم R2 .
به همين ترتيب كره سه بعدي، مكان هندسي كليه نقاط در فضاست كه فاصله‌شان از يك نقطه (مركز كره)، به يك فاصله باشد و با معادله R2 = z2 + y2 + x2 مشخص مي‌شود و داراي حجم R3 است.
با تعميم مطالب فوق اَبَر كره چهار بعدي با معادله R2 = t2 + z2 + y2 + x2 مشخص مي‌گردد و مي‌توان ثابت كرد كه داراي اَبَر حجم R4 2 مي‌باشد.
اكنون بررسي مي‌كنيم كه موجودات سه بعدي چگونه مي‌توانند يك جسم چهار بعدي را مشاهده كنند؟
از دنياي «خط» شروع مي‌كنيم. اگر يك دايره (موجود دو بعدي) از دنياي خط عبور كند، موجودات يك بعدي در هر لحظه فقط يك وتر دايره را مشاهده خواهند كرد. آن ها مي‌بينند كه ابتدا يك نقطه ظاهر شد، سپس اين نقطه تبديل به يك پاره خط گرديد و اين پاره خط كم كم بزرگ شد تا به اندازه بزرگترين طول خود (يعني قطر دايره) رسيد و سپس رفته رفته كوچك و در نهايت تبديل به يك نقطه و نهايتاً محو گرديد. شبيه همين رويداد براي موجودات دو بعدي جهان «تخت» و گذر يك كره سه بعدي از آن جهان اتفاق مي‌افتد.
آن ها مشاهده مي‌كنند كه ابتدا كره به شكل يك نقطه پديدار مي‌شود، سپس تبديل به دايره مي‌گردد و شعاع دايره شروع به بزرگ شدن مي‌كند تا اينكه به بزرگترين اندازه خود مي‌رسد. (به طوري كه قطر آن با قطر كره برابر مي‌شود.) پس از آن كوچك و در نهايت تبديل به يك نقطه شده و محو مي‌گردد.

با تعميم مطالب بالا، چنانچه يك موجود چهار بعدي (مثلاً يك ابر كره) از جهان سه بعدي ما عبور كند، ابتدا به صورت يك نقطه ظاهر شده و سپس تبديل به كره‌اي كوچك مي‌شود كه رفته رفته شروع به بزرگ شدن مي‌كند و هنگامي كه به بزرگترين مقدار خود رسيد (يعني شعاع آن برابر با شعاع ابر كره شد)، كم كم كوچك شده و در نهايت تبديل به يك نقطه و سپس محو مي‌گردد. پس توجه كنيد براي اين كه يك موجود چهار بعدي بخواهد وارد اتاق شما شود لازم نيست از درب يا ديوار عبور كند بلكه كافيست به طور ناگهاني در وسط اتاق ظاهر گردد.

چند نتيجه از حركت در بعد چهارم

همواره براي درك بهتر از بعد چهارم بايستي با مثال‌هايي در بعدهاي كمتر شروع كنيم. در بيان نتايج زير، سعي شده مسأله با مثال‌هايي از دنياي «تخت‌» و حركت يك موجود در جهت بعد سوم روشن‌تر شود.

1 ـ خروج از زندان، بدون گذشتن از درب يا ديوار

زندان دو بعدي چيزي به جز يك شكل بسته مانند يك مستطيل نيست. ولي اگر يك موجود دو بعدي بتواند در جهت بعد سوم حركت كند. به راحتي بدون گذشتن از درب يا ديوار زندان، مانند شكل مي‌تواند از زندان خارج شود.
زندان دو بعدي
حركت در بعد سوم
به همين ترتيب وي مي‌تواند از يك گاو صندوق، بدون شكستن قفل و يا باز كردن درب آن، پول بردارد!
تونل
حركت در بعد سوم
كوه دو بعدي

2 ـ عبور ا ز كوه بدون رفتن به قله آن و يا تونل زدن

3 ـ نزديك كردن راهها در فضاي منحني

فرض كنيد يك جهان دو بعدي به صورت سطح يك كره باشد. (يعني خميده باشد) براي رفتن از نقطه A به نقطه B در روي سطح بايستي راه طولاني طي شود و ليكن اگر موجودي بتواند در بعد سوم حركت كند، مي‌تواند از ميان كره به طرف ديگر آن برود و راه را كوتاه نمايد.

4 ـ توجيه دوگانگي‌هاي موجود در طبيعت

در فيزيك جديد، دوگانگي موج و ذره يكي از مطالب مورد قبول فعلي است. اين اصل مي‌گويد كه هر موجي، جنبه ذره‌اي و هر ذره‌اي، جنبه موجي نيز دارد. به عنوان مثال نور در بعضي آزمايش‌ها و مشاهدات، خود را به صورت موج و در برخي ديگر خود را به صورت ذره جلوه‌گر مي‌سازد.
` از مطلب فوق، اصل عدم قطعيت نيز نتيجه مي‌شود كه طبق آن، انسان نمي‌تواند به طور همزمان مكان و سرعت يك ذره را به طور دقيق اندازه‌گيري كند و هر چه دقت اندازه‌گيري يكي از آن دو كميت بيشتر شود، در ديگري به همان اندازه خطاي اندازه‌گيري بيشتر خواهد شد.
شايد بتوان اين مطلب را نتيجه‌اي از وجود بعد چهارم دانست. همانطور كه مي‌دانيد يك شكل سه بعدي، خود را در جهان دو بعدي به صور مختلف نشان مي‌دهد. مثلاً يك استوانه در عبور از يك صفحه دو بعدي، ممكن است به شكل‌هاي مختلف (مانند دايره، مستطيل و…) ظاهر شود. به همين ترتيب يك شكل چهار بعدي در فضاي سه بعدي، داراي تصاوير متفاوت است.

آيا جهان ما چهار بعدي است؟

چگونه مي‌توان وجود بعد چهارم را در جهان اثبات يا رد كرد؟

يك جهان دو بعدي «تخت » بايستي يا بي‌نهايت باشد و يا داراي مرزهاي پاياني. و ليكن اگر همان جهان دو بعدي، در واقع سطح يك كره سه بعدي باشد، عليرغم نداشتن هيچ گونه حد و مرزي، در عين حال بي‌نهايت نيز نيست.
در چنين جهاني، يك موجود دو بعدي، در عين حال كه روي يك خط مستقيم (به زعم خودش) حركت مي‌كند، پس از طي مسافتي، دوباره به محل اوليه‌اش بر مي‌گردد. او در ضمن اين حركت، به چپ و راست منحرف نمي‌شود ولي در واقع در جهت بعد سوم خم مي‌گردد.

اين موجود چگونه مي‌تواند بدون دور زدن كامل، پي ببرد كه جهانش تخت است يا خميده؟

جواب اين است كه او به وسيله كاربرد اصول هندسه و رياضيات مي‌تواند به اين موضوع پي ببرد. در يك سطح تخت اصول هندسي اقليدسي بر قرارند و ليكن در يك سطح خميده اصول ديگري حاكم مي‌شوند. بيان اصول هندسه اقليدسي در حوصله اين مقاله نيست و علاقمندان مي‌توانند به مراجع مربوطه مراجعه نمايند. در اينجا فقط به اين نكته اكتفا مي‌شود كه اگر يك موجود دو بعدي بر روي سطح يك كره زندگي كند، فاصله بين دو نقطه به مختصات (x , y ) و (x + dx , y + dy) به جاي عبارت است از: كه در آن k شعاع كره است.
به همين ترتيب چنانچه فضاي سه بعدي ما، ابر سطح يك ابر كره چهار بعدي به شعاع k باشد، در اين صورت فاصله بين دو نقطه به مختصات (x, y, z) و (x + dx , y + dy, z + dz) به جاي عبارت است از:
بنابراين مي‌توان حتي بدون مسافرت به دور جهان! به اين مسأله پي برد كه آيا جهان سه بعدي ما تخت است يا خميده؟
ابزارهاي ديگري نيز براي پي بردن به جهان تخت يا خميده بودن فضا وجود دارد. همانطور كه مي‌دانيد مجموع زواياي يك مثلث در فضاي تخت (هندسه اقليدسي) برابر 180 درجه است وليكن به عنوان مثال در يك كره، مثلثي كه از 3 دايره عظيم تشكيل شده (مثلاً خط استوا و دو نصف النهار) داراي مجموع زوايايي بيش از 180 درجه است و يا در يك سطح تخت، دو خط موازي، همواره موازي مي‌مانند و هيچگاه يكديگر را قطع نمي‌كنند و ليكن در يك كره دو نصف النهار كه به خط استوا عمودند، در ابتدا با يكديگر موازيند ولي كم كم بهم نزديك مي‌شوند و نهايتاً در قطب به يكديگر مي‌رسند. با عنايت به مطالب فوق و بسياري مشاهدات ديگر اكنون ثابت شده است كه جهان ما خميده است و ضمن اين كه بي‌نهايت نيست ولي در عين حال داراي مرزهاي مشخص نيز نمي‌باشد.
به عبارت ديگر، جهان ما سطح يك كره چهار بعدي است و هر حركتي، علي‌رغم اين كه ظاهراً مستقيم الخط به نظر برسد و به طرف چپ و راست يا بالا و پايين خم نشود وليكن در واقع يك مسير خميده است كه در جهت بعد چهارم خم شده و در نهايت بر روی نقطه شروع بر می‌گردد.
همانطور كه در يك جهان سه بعدي، ممكن است تعداد زيادی سطوح دو بعدي كروی شناور باشند (دنياهاي متفاوت دو بعدي كروی با شعاع‌های متفاوت). اين امكان وجود دارد كه تعداد زيادي جهان سه بعدي كروي، در فضاي چهار بعدي شناور باشند. با تعميم اين مسأله، مي‌توان گفت كه فضاي چهار بعديي كه جهان سه بعدي خميده ما در آن شناور است، خود در واقع خميده است و سطح يك كره پنج بعدي است كه در فضاي پنج بعدي شناور است. به همين ترتيب فضاي پنج بعدي در واقع سطح يك كره شش بعدي است كه در فضاي شش بعدي شناور است و .....

ماتریس های تبدیل جهان، نما و طرح ریزی

در این بخش سعی خواهیم کرد یکی از مکانیک های اصلی هر موتور سه بعدی را به تفصیل درک کنیم، زنجیره ای از تبدیل های ماتریسی که امکان نمایش یک شی سه بعدی را در یک مانیتور دو بعدی فراهم می کند. ما سعی خواهیم کرد به جزئیات نحوه ساخت ماتریس ها و چرایی آن بپردازیم.
ابتدا در مورد رابطه بین تبدیل ها و فضاهای برداری صحبت خواهیم کرد. سپس نشان خواهیم داد که چگونه یک تبدیل را می توان به صورت ماتریسی نشان داد. از آنجا، توالی معمولی از تبدیل‌هایی را که باید اعمال کنید، نشان خواهیم داد، که از Model به World Space ، سپس به Camera و سپس Projection است.

فضاهای برداری: فضای مدل و فضای جهانی

فضای برداری یک ساختار ریاضی است که با تعداد معینی از بردارهای مستقل خطی تعریف می شود که بردارهای پایه نیز نامیده می شوند.
تعداد بردارهای مستقل خطی اندازه فضای برداری را مشخص می کند، بنابراین یک فضای سه بعدی دارای سه بردار پایه است، در حالی که یک فضای دو بعدی دارای دو بردار است.
این بردارهای پایه می توانند مقیاس شوند و با هم اضافه شوند تا همه بردارهای دیگر در فضا به دست آید. فضاهای برداری موضوع بسیار گسترده ای است و هدف از این مقاله توضیح دقیق آنها نیست، تنها چیزی که برای اهداف خود باید بدانیم این است که مدل های ما در یک فضای برداری خاص زندگی می کنند که تحت نام فضای مدل و با سیستم مختصات سه بعدی متعارف نشان داده شده است.
هنگامی که یک هنرمند یک مدل سه بعدی می نویسد، تمام رئوس و چهره ها را نسبت به سیستم مختصات سه بعدی ابزاری که در آن کار می کند، که فضای مدل است، ایجاد می کند. همه رئوس نسبت به مبدا فضای مدل هستند، بنابراین اگر نقطه ای در مختصات (1،1،1) در فضای مدل داشته باشیم، دقیقاً می دانیم که کجاست.
هر مدل بازی در فضای مدلی خود زندگی می کند و اگر می خواهید آن ها در هر رابطه فضایی باشند (مثلاً اگر می خواهید یک قوری را روی میز قرار دهید) باید آن ها را به یک فضای مشترک تبدیل کنید فضای جهانی نامیده می شود.

شکل 1: سیستم مختصات سه بعدی راست دست استاندارد

بگذارید دوباره روی این موضوع تاکید کنم. درک این نکته مهم است که یک بردار فقط در یک سیستم مختصات معنا می یابد . اگر فضا را مشخص نکنیم نمی توانیم نقطه ای را نشان دهیم. هنگامی که مدل از ابزار به موتور بازی صادر می شود، تمام رئوس در Model Space نشان داده می شوند. حال اگر بخواهیم شی ای را که به تازگی وارد کرده ایم در دنیای بازی قرار دهیم، باید آن را جابجا کرده و/یا به موقعیت دلخواه بچرخانیم و این باعث می شود که شی در World Space قرار گیرد. جابجایی، چرخش یا تغییر مقیاس یک شی چیزی است که ما آن را تبدیل می نامیم . وقتی همه اشیاء به یک فضای مشترک (فضای جهانی) تبدیل شدند، رئوس آنها نسبت به خود فضای جهانی خواهد بود.

دگرگونی

ما می توانیم تبدیل در یک فضای برداری را به سادگی به عنوان تغییر از یک فضا به فضای دیگر ببینیم. این یکی از پیچیده‌ترین بخش‌های تبدیل برداری است، بنابراین بیایید سعی کنیم آن را تا حد امکان واضح کنیم .
ما می توانیم یک فضای برداری را به صورت سه بعدی یا به صورت سه محور متعامد تصور کنیم .ما همیشه باید یک فضای "فعال" داشته باشیم، یعنی فضایی که به عنوان مرجع برای هر چیز دیگری (چه هندسه یا فضاهای دیگر) استفاده می کنیم. اگر دو مدل داشته باشیم که هر کدام در مدل Space مخصوص به خود است، نمی‌توانیم هر دو را ترسیم کنیم تا زمانی که یک فضای "فعال" مشترک تعریف کنیم. حال فرض کنید با یک فضای فعال شروع می کنیم، آن را Space A می نامیم، که حاوی یک قوری است. اکنون می‌خواهیم تبدیلی را اعمال کنیم که همه چیز را در فضای A به موقعیت جدیدی منتقل می‌کند. اما اگر فضای A را جابجا کنیم، باید یک فضای "فعال" جدید برای نشان دادن فضای تبدیل شده A تعریف کنیم. بیایید فضای فعال جدید را فضای B بنامیم . قبل از تبدیل، هر نقطه توصیف شده در فضای A، نسبت به مبدا آن فضا بود پس از اعمال تبدیل، اکنون همه نقاط نسبت به فضای فعال جدید، فضای B هستند. هر عملیاتی که فضای A را نسبتاً به فضای B بازتعریف کند یک تبدیل است. توجه کنید که چگونه، پس از تبدیل، فضای A اکنون در فضای B گم شده است، یا به طور دقیق تر دوباره در فضای B نگاشت شده است، بنابراین ما راهی برای اعمال هیچ تبدیل دیگری در آن نداریم (مگر اینکه تبدیل را لغو کنیم و فضا را ایجاد کنیم.

درباره فضای "فعال".

راه دیگری برای مشاهده این موضوع این است که تصور کنید هر چیزی در یک فضا با بردارهای پایه حرکت می کند، و تصور کنید که فضای A با فضای B کاملاً همپوشانی دارد. وقتی تبدیل را اعمال می کنیم، فضای A را از فضای B دور می کنیم، و هر چیزی را در فضای A دور می کنیم, با آن حرکت می کند هنگامی که همه رئوس را جابجا کردیم، سپس همه آنها را نسبت به فضای B نشان می دهیم و تبدیل را تکمیل می کنیم. در صورتی که نیاز به کار مجدد در فضای A داشته باشیم، می‌توان معکوس تبدیل را به فضای B اعمال کرد. با انجام این کار، فضای B دوباره به فضای A نگاشت می‌شود و در این مرحله، فضای B را "از دست می‌دهیم". اگر هر دو تبدیل و معکوس آنها را بدانیم، همیشه می‌توانیم دو فضا را دوباره به یکدیگر نگاشته کنیم.
تبدیل هایی که می توانیم در فضاهای برداری استفاده کنیم مقیاس، ترجمه و چرخش هستند. توجه به این نکته مهم است که هر تبدیل همیشه نسبت به مبدأ است، ترتیبی که ما برای اعمال خود تبدیل ها استفاده می کنیم بسیار مهم می کند. اگر 90 درجه به چپ بچرخانیم و سپس ترجمه کنیم، چیزی بسیار متفاوت با آنچه که در ابتدا ترجمه و سپس به 90 درجه چرخاندیم به دست می‌آوریم

ماتریس تبدیل

حالا که فهمیدیم تبدیل , یک تغییر از یک فضا به فضای دیگر است، می‌توانیم به ریاضیات برسیم. اگر بخواهیم یک تبدیل از یک فضای سه بعدی به فضای دیگر را نشان دهیم، به یک ماتریس 4x4 نیاز داریم. من از اینجا روی نماد برداری ستونی، مانند OpenGL، فرض می کنم. اگر به بردارهای ردیف علاقه دارید، فقط باید ماتریس را جابجا کنید و بردار را از قبل ضرب کنید، برای اعمال تبدیل، باید تمام بردارهایی را که می خواهیم در برابر ماتریس تبدیل تغییر دهیم ضرب کنیم. اگر بردارها در فضای A بودند و تبدیل موقعیت جدیدی از فضای A را نسبت به فضای B توصیف می کرد، پس از ضرب، همه بردارها در فضای B توصیف می شدند.
حال، بیایید ببینیم چگونه یک تبدیل عمومی را به شکل ماتریس نشان می دهیم.
Translation موقعیتی را توصیف می کند که در آن فضای جدید قرار است نسبت به فضای فعال باشد.
گاهی اوقات می خواهیم تبدیل های ساده ای مانند ترجمه یا چرخش انجام دهیم. در این موارد می‌توان از ماتریس‌های زیر استفاده کرد که موارد خاصی از فرم عمومی است که ارائه کردیم.

ماتریس ترجمه:

جایی است که ترجمه یک بردار سه بعدی که نشان دهنده موقعیتی است که می خواهیم فضای خود را به آن جابجا کنیم انجام می گیرد. یک ماتریس ترجمه، تمام محورها را دقیقاً مانند فضای فعال می چرخاند.

ماتریس مقیاس:

جایی که مقیاس یک بردار سه بعدی است که مقیاس را در امتداد هر محور نشان می دهد. اگر ستون اول را بخوانید، می‌توانید ببینید که چگونه محور X جدید همچنان در همان جهت است، اما با مقیاس اسکالر مقیاس‌بندی شده است.x. برای تمام محورهای دیگر نیز همین اتفاق می افتد. همچنین توجه داشته باشید که چگونه ستون ترجمه همه صفر است، به این معنی که نیازی به ترجمه نیست.

ماتریس چرخش حول محور X:

جایی که تتا زاویه ای است که می خواهیم برای چرخش خود استفاده کنیم. توجه کنید که چگونه ستون اول هرگز تغییر نخواهد کرد، که انتظار می رود زیرا ما حول محور X می چرخیم. همچنین توجه کنید که چگونه تغییر تتا به 90 درجه، محور Y را به محور Z و محور Z را به محور -Y تغییر می دهد.
ماتریس های چرخش برای محور Z و محور Y به همان شیوه ماتریس محور X رفتار می کنند.

ماتریس هایی که من به شما ارائه دادم پرکاربردترین ماتریس هایی هستند که برای توصیف تبدیل های سفت و سخت نیاز دارید. شما می توانید با ضرب ماتریس ها یکی پس از دیگری چندین تبدیل را با هم زنجیر کنید. نتیجه یک ماتریس واحد خواهد بود که تبدیل کامل را رمزگذاری می کند. همانطور که در بخش تبدیل دیدیم، ترتیبی که برای اعمال تبدیل ها استفاده می کنیم بسیار مهم است. این در ریاضیات با این واقعیت منعکس می شود که ضرب ماتریس جابجایی نیست. بنابراین به طور کلی Translate x Rotate با Rotate x Translate متفاوت است.
از آنجایی که ما از بردارهای ستونی استفاده می کنیم، باید یک زنجیره تبدیل را از راست به چپ بخوانیم، بنابراین اگر بخواهیم 90 درجه به سمت چپ حول محور Y بچرخانیم و سپس 10 واحد را در امتداد محور Z ترجمه کنیم، زنجیره [ 10 را در امتداد X]x [RotateY 90°] = [ComposedTransformation] ترجمه کنید .

ماتریس هایی که من به شما ارائه دادم پرکاربردترین ماتریس هایی هستند که برای توصیف تبدیل های سفت و سخت نیاز دارید. شما می توانید با ضرب ماتریس ها یکی پس از دیگری چندین تبدیل را با هم زنجیر کنید. نتیجه یک ماتریس واحد خواهد بود که تبدیل کامل را رمزگذاری می کند. همانطور که در بخش تبدیل دیدیم، ترتیبی که برای اعمال تبدیل ها استفاده می کنیم بسیار مهم است. این در ریاضیات با این واقعیت منعکس می شود که ضرب ماتریس جابجایی نیست. بنابراین به طور کلی Translate x Rotate با Rotate x Translate متفاوت است.ّ
از آنجایی که ما از بردارهای ستونی استفاده می کنیم، باید یک زنجیره تبدیل را از راست به چپ بخوانیم، بنابراین اگر بخواهیم 90 درجه به سمت چپ حول محور Y بچرخانیم و سپس 10 واحد را در امتداد محور Z ترجمه کنیم، زنجیره [ 10 را در امتداد X]x [RotateY 90°] = [ComposedTransformation] ترجمه کنید .

فضای مدل، فضای جهان، فضا را مشاهده کنید

حالا تمام قطعات پازل را داریم، بیایید آن ها را کنار هم بگذاریم. اولین مرحله زمانی که می خواهیم یک صحنه سه بعدی را رندر کنیم، قرار دادن همه مدل ها در یک فضا، یعنی World Space است. از آنجا که هر شی در موقعیت و جهت خود در جهان خواهد بود، هر یک ماتریس تبدیل مدل به جهان متفاوتی دارد با وجود تمام اشیاء در مکان مناسب، اکنون باید آنها را به صفحه نمایش دهیم.
این کار معمولا در دو مرحله انجام می شود. مرحله اول تمام شی را در فضای دیگری به نام فضای مشاهده حرکت می دهد . مرحله دوم طرح ریزی واقعی را با استفاده از ماتریس طرح ریزی انجام می دهد. این مرحله آخر کمی متفاوت از بقیه است و در یک لحظه آن را با جزئیات خواهیم دید.
چرا به فضای دید نیاز داریم؟ View Space یک فضای کمکی است که ما از آن برای ساده کردن ریاضیات استفاده می کنیم و همه چیز را زیبا و رمزگذاری شده در ماتریس ها نگه می داریم. ایده این است که ما باید به یک دوربین رندر کنیم، که به معنای نمایش تمام رئوس روی صفحه دوربین است که می‌تواند به طور دلخواه در فضا جهت‌گیری شود.
اگر بتوانیم دوربین را در مرکز مبدأ و تماشای یکی از سه محور، مثلاً محور Z، داشته باشیم تا به قرارداد پایبند باشیم، ریاضیات بسیار ساده می‌شود. پس چرا فضایی ایجاد نکنیم که دقیقاً این کار را انجام دهد و فضای جهانی را مجدداً ترسیم کند تا دوربین در مبدا باشد و در امتداد محور Z به پایین نگاه کند؟ این فضا فضای نمایش است (گاهی اوقات فضای دوربین نامیده می شود ) و تبدیلی که اعمال می کنیم همه رئوس را از World Space به View Space منتقل می کند.
چگونه ماتریس تبدیل برای View Space را محاسبه کنیم؟ حال، اگر تصور کنید می‌خواهید دوربین را در فضای جهانی قرار دهید، از یک ماتریس تبدیل استفاده می‌کنید که در جایی قرار دارد که دوربین قرار دارد و به گونه‌ای است که محور Z به سمت هدف دوربین نگاه می‌کند. معکوس این تبدیل، اگر برای همه اشیاء موجود در فضای جهانی اعمال شود، کل جهان را به فضای دید منتقل می کند. توجه داشته باشید که ما می توانیم دو تبدیل Model To World و World to View را در یک تبدیل واحد Model To View ترکیب کنیم.

فضای پروجکشن

فضای پروجکشن اکنون تنها کاری که باید انجام دهیم این است که آن را روی صفحه خیالی دوربین پخش کنیم. قبل از مسطح کردن تصویر، هنوز باید به فضای نهایی دیگر، فضای طرح ریزی ( Projection Space ) برویم . این فضا مکعبی است که ابعاد آن برای هر محور بین 1- و 1 است. این فضا برای برش بسیار مفید است (هر چیزی خارج از محدوده 1:-1 خارج از ناحیه دید دوربین است) و عملیات صاف کردن را ساده می کند (فقط باید مقدار z را کاهش دهیم تا تصویری صاف داشته باشیم.)

برای رفتن از View Space به Projection Space به ماتریس دیگری نیاز داریم، ماتریس View to Projectionو مقادیر این ماتریس بستگی به نوع پروجکشن ما دارد. دو پیش بینی پرکاربرد عبارتند ازطرح املایی و طرح پرسپکتیو .
برای انجام پروجکشن Orthographic باید اندازه ناحیه ای را که دوربین می تواند ببیند را مشخص کنیم. این معمولاً با مقادیر عرض و ارتفاع برای محور x و y و مقادیر z نزدیک و دور برای محور z تعریف می شود.
با توجه به این مقادیر، ما می توانیم ماتریس تبدیل ایجاد کنیم که ناحیه جعبه را دوباره به مکعب تبدیل می کند. ماتریس زیر بردارها را از View Space به Ortho Projected Space تبدیل می کند و یک سیستم مختصات راست دست را در نظر می گیرد. طرح دیگر، فرافکنی پرسپکتیو است. این ایده شبیه به طرح‌بندی املایی است، اما این بار ناحیه دید یک فرورفتگی است و بنابراین ترسیم مجدد آن کمی دشوارتر است. متأسفانه ضرب ماتریس در این مورد کافی نیست، زیرا پس از ضرب در ماتریس، نتیجه در فضای تصویری یکسانی نیست (به این معنی که مولفه w برای هر راس 1 نیست.) برای تکمیل تبدیل، باید هر جزء بردار را بر خود مؤلفه w تقسیم کنیم. APIهای گرافیکی فعلی تقسیم را برای شما انجام می دهند، بنابراین می توانید به سادگی تمام رئوس خود را در ماتریس طرح ریزی پرسپکتیو ضرب کنید و نتیجه را به GPU ارسال کنید.
GPU تقسیم بر w را انجام می دهد، آن راس ها را خارج از ناحیه مکعبی برش می دهد، تصویر را صاف می کند و جزء z را حذف می کند، همه چیز را از محدوده 1- تا 1 دوباره در محدوده 0 تا 1 نگاشته می کند و سپس آن را به عرض درگاه دید مقیاس می دهد و ارتفاع، و شطرنجی کردن مثلث ها روی صفحه (اگر شطرنجی را روی CPU انجام می دهید، باید خودتان این مراحل را انجام دهید) بنابراین، اگر از طریق OpenGL یا DirectX رندر کنیم، می‌توانیم آخرین مراحل را بدیهی بگیریم، بنابراین فضای پرسپکتیو آخرین مرحله از زنجیره تحول ماست.
آواتارها در دنیای رسانه های اجتماعی جدید نیستند, اما متاورس فیس بوک ابعادی کاملاً متفاوت به آن اضافه می کند. فیسبوک در کنار تغییر نام تجاری خود به متا در Connect 2021، اعلانات زیادی در مورد فناوری VR ، مسیرهای آینده و تحقیقات در این فضا ارائه کرد.
متاورس فیس بوک احتمالا دارای آواتارهای سه بعدی فوق واقعی است که از هوش مصنوعی، تکنیک های مدل سازی پیچیده و الکترومیوگرافی برای نمایش دقیق ویژگی ها و حرکات انسان در فضای مجازی استفاده می کنند.
توجه داشته باشید که این آواتارها هنوز در مرحله تحقیق هستند و احتمالاً چندین سال بعد از آن شروع به کار خواهند کرد. در همین حال، شرکت های دیگری مانند مایکروسافت در حال پرده برداری از آواتارهای کاربران برای متاورس هستند و آینده امیدوارکننده به نظر می رسد.

آواتار چیست؟

از نظر ریشه‌شناسی، کلمه آواتار از کلمه سانسکریت به معنای «نزول» مشتق شده است، که به طور خاص به خدایانی اشاره دارد که به زمین فرود می‌آیند و شکلی شبیه انسان به خود می‌گیرند.
در محاسبات، آواتارها در دهه 80 به عنوان نمایشی روی صفحه از کاربران اینترنت و به ویژه گیمرها رایج شدند. بازی 1985 به نام Ultima IV: Quest of the Avatar نیاز به نمایش کاربران روی صفحه را که تا حدی حقیقت را به ارمغان می‌آورد، کاملاً ثابت کرد.
در محاسبات، آواتارها در دهه 80 به عنوان نمایشی روی صفحه از کاربران اینترنت و به ویژه گیمرها رایج شدند. بازی 1985 به نام Ultima IV: Quest of the Avatar نیاز به نمایش کاربران روی صفحه را که تا حدی حقیقت را به ارمغان می‌آورد، کاملاً ثابت کرد.
همان اصل در حال حاضر در رسانه های اجتماعی اعمال می شود، همانطور که آواتارهای ما به معنای واقعی کلمه هستند که ما در یک فضای مجازی یا دنیای بازی هستیم و اقدامات/تصمیمات آواتار با خودمان یکسان است. این رویکرد برای اولین بار در سال 1992 در رمان علمی تخیلی، تصادف برفی اثر نیل استفنسون ارائه شد که اتفاقاً اولین مفهوم متاورس نیز بود.
سه دهه به جلو و شرکت های فناوری مانند فیس بوک (اکنون متا) و مایکروسافت به دنبال تحقق چشم انداز یک متاورس غنی هستند که پر از آواتارهای واقعی است

آیا آواتارها با تعریف بیش از حد واقعی هستند؟

لازم نیست. آواتارها مظاهر روی صفحه یا مجازی کاربر هستند و از نظر فنی، تا زمانی که دارای ویژگی های انسان نما مانند اندام متحرک، بالاتنه بالا و پایین تنه و چهره ای با قابلیت بیان باشند، می توانند هر شکل یا شکلی به خود بگیرند.
با این پیش نیازها، آواتار شما ممکن است شبیه یا متفاوت از ظاهر شما در دنیای واقعی باشد. برنامه های کاربردی VR در سراسر صنعت برداشت خاص خود را از آواتارها دارند که بر اساس نیازهای یک مورد خاص ارائه می شوند.
به عنوان مثال، در یک بازی VR ورزشی، تا زمانی که حرکات با دقت و بدون تاخیر رندر شوند، ممکن است داشتن سر و بدن شناور بدون جزئیات زیاد کافی باشد. در یک راه‌اندازی VR مشارکتی برای کار، منابع محاسباتی ممکن است به سمت نمایش حالات چهره و زبان بدن برای برقراری ارتباط مؤثر منحرف شوند.
متاورس فیس بوک احتمالا دارای آواتارهای فوق واقع گرایانه قابل تنظیم است که شباهت زیادی به ویژگی های صورت و فیزیکی شما دارد، اما از سفارشی سازی برای افزونه هایی مانند مو، لباس و عینک شما پشتیبانی می کند.

چه نوع آواتارهایی در متاورس ممکن است

برای اینکه چگونه می توانید اواتارهای خود را ایجاد کنید,چند انتخاب دارید و اینها می توانند سه بعدی یا دو بعدی نیز باشند
اخیراً آواتارها در دنیای VR و در سیستم‌های سخت‌افزاری و نرم‌افزاری که می‌توانند حرکات دنیای واقعی را با استفاده از حسگرها تکرار کنند، به طور فزاینده‌ای محبوب شده‌اند. معمولاً همه اینها در یکی از این دسته ها قرار می گیرند:
معمولا یک بازخوانی اول شخص است که در آن کاربر جهان را از دیدگاه آواتار VR میبیند. سایر شرکت کنندگان جهان میتوانند قسمت بالایی نیم تنه آواتار را به همراه بازوها, اما بدون اندام تحتانی ببینند.این نوع را در اکثربرنامه های ابتدایی واقعیت مجازی که نیازی به حرکات پیچیده پا یا تحرک درونی ندارند, پیدا خواهید کرد. آواتارهای تمام بدن در یک آواتار تمام بدن، حسگرها حرکات کل بدن را از طریق یک سیستم سینماتیک تکرار و بازسازی می کنند. در نتیجه، کاربر آزادی تحرک بیشتری در دنیای مجازی دارد و می‌تواند از تمام اندام‌ها برای تعامل با دارایی‌های دیجیتال استفاده بازی‌های پیچیده واقعیت مجازی معمولاً از این نوع استفاده می‌کنند .
به همین دلیل است که ایده خوبی است که یک شرکت توسعه متاورس با تجربه را استخدام کنید تا آواتارهای شما را نیز بسازد، زیرا آن ها می توانند ایم موارد را تا حد امکان واقعی کنند.

برخی از کاربردهای تجاری آواتارهای سه بعدی چیست؟

ما در مورد اینکه آواتار چیست و انواع مختلفی که می‌توان ایجاد کرد بسیار صحبت کرده‌ایم، اما باید بدانیم که چگونه می‌توانیم از آن ها استفاده کنیم. خوب، یک راه جالب، جلسات مجازی است. تصور کنید که بتوانید جایگزین زوم، تیم‌های مایکروسافت یا هر پلتفرم ویدئو کنفرانسی که استفاده می‌کنید، باشید و بتوانید با همکاران خود در یک متاورس ملاقات کنید که در آن همه به عنوان یک آواتار سه بعدی نشان داده می‌شوند. این آواتارها همچنین می‌توانند هنگام صحبت کردن کاربر توسط میکروفون، حرکت دهان را متحرک کنند تا بیان بیشتری به ارمغان بیاورند. هم مایکروسافت و هم متا در حال حاضر این ایده را به عنوان بخشی کلیدی از طرح اولیه خود برای پذیرش Metaverse مطرح کرده اند.
شایان ذکر است که می توانید علاوه بر میزبانی ساده جلسات، کل محیط کاری خود را به Metaverse منتقل کنید. اساساً، همان روشی که با همکاران خود در دفتر تعامل می کنید، در متاورس نیز امکان پذیر خواهد بود. این امر به ویژه امروزه که بسیاری از شرکت‌ها به یک مدل کار جزئی یا حتی کاملاً از راه دور منتقل می‌شوند، بسیار مهم است.
برای کسانی که دارای یک هدست VR یا AR مناسب هستند، مایکروسافت قصد دارد به افراد اجازه دهد تا با استفاده از این فناوری در محیط های مجازی حرکت کنند، اما نیازی به آن نیست

این سیستم گفت که این سیستم با هزاران نفر از استخدام‌کنندگان جدید در شرکت مشاوره Accenture آزمایش شده است، که از این سیستم برای سوار شدن به کارکنان در طول همه‌گیری استفاده می‌کرده است.
به بیان ساده، متاورس نمی تواند بدون آواتارها وجود داشته باشد. یعنی تظاهرات افرادی که از فضای مجازی متاورس استفاده می کنند و در آن زندگی می کنند. همچنین، آواتارها قابلیت همکاری لازم را بین بسیاری از ویژگی‌های متاورس فراهم می‌کنند. به عنوان مثال، کاربر ممکن است یک چالش بازی را تکمیل کند. توکن هایی را بدست آورد که در یک سرویس کیف پول ذخیره می شوند، از یک بازار مجازی بازدید کند و دارایی هایی را خریداری کند تا از طریق صندوق ذخیره شوند و آواتار تنها عنصر ثابتی است که در این سرویس ها استفاده می شود.
در زمینه متاورس، آواتارها نقشی شبیه به اعتبارنامه‌های SSO آنلاین (بدون جنبه امنیتی) ایفا می‌کنند و به کاربران امکان دسترسی به همه چیزهایی را که جهان ارائه می‌دهند.

حرکت های اخیر به سمت آواتارهای آماده متاورس

فیس‌بوک (اکنون متا) در حال آزمایش با آواتارهای مختلف است که ظاهر انسان را در دنیای مجازی با دقتی باورنکردنی بازسازی می‌کند. در پایان، داده‌های حسگر زنده یک شبکه عصبی را هدایت می‌کنند که خود را در زمان واقعی در زمینه دنیای اطرافش بازسازی می‌کند.
به طور همزمان، متا در حال کار بر روی آواتارهای مبتنی بر فیزیک است که احتمالاً از ابزارهای پوشیدنی برای ضبط و استفاده از داده‌های آناتومی انسان استفاده می‌کنند. نسخه‌های این رویکردها در Connect 2021 معرفی شدند، اما هنوز عرضه‌ای برای مصرف‌کننده وجود ندارد.
از طرفی مایکروسافت در بازی آواتار کمی جلوتر است و سرویس آواتار سه بعدی خود را در هفته اول نوامبر راه اندازی می کند. کاربران تیم های مایکروسافت اکنون می توانند آواتارهای شخصی سازی شده خود را ایجاد کنند که برای شرکت کنندگان جلسه قابل مشاهده باشد، حتی زمانی که وب کم خاموش است.
مهمتر از همه، این ها تفسیرهای سبکی از ساختار انسان-آناتومی و چهره هستند، با زیبایی بسیار متفاوت از فیس بوک. آواتارهای مایکروسافت نیز از طریق Mesh، پیشنهاد متاورس این شرکت، قابل دسترسی خواهند بود.
در نهایت، شرکت هایی مانند Ready Player Me وجود دارند که در ساخت آواتارهای چند پلتفرمی برای متاورس تخصص دارند. از آنجایی که متاورس هزاران برنامه و چند دنیای مجازی را گرد هم می آورد، آواتار می تواند به عنوان نقطه ورود و هویت پایدار شما عمل کند، در حالی که شما کاوش و تعامل دارید.